Для ньютоновских жидкостей используется линейный закон напряжений с постоянной вязкостью, тогда как для неньютоновских жидкостей требуется определяющая модель, в которой напряжение зависит от истории деформации, скорости деформации или обоих факторов. Для несжимаемой ньютоновской жидкости тензор вязких напряжений имеет вид (\boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{\Gamma}=\mu[\nabla\mathbf{v}+(\nabla\mathbf{v})^T]), где динамическая вязкость (\mu) постоянна. В пилотных установках для неньютоновских жидкостей вместо этого используются зависящая от скорости кажущаяся вязкость, зависимость с пределом текучести или уравнение вязкоупругих напряжений, что изменяет прогнозы перепада давления, нагрузки на насос, мощности смешивания и масштабирования.

Ключевое различие заключается в замыкании уравнений напряжений: ньютоновская вязкость постоянна и приводит к линейной задаче переноса импульса, тогда как неньютоновские определяющие уравнения делают напряжение зависимым от локального сдвига, структуры материала или истории деформации.

Почему определяющее уравнение имеет значение

Напряжение и давление описывают разные эффекты

Полное напряжение обычно разделяют на изотропное давление и девиаторное вязкое напряжение. Давление вносит вклад в статический напор и допустимые значения давления, тогда как вязкое напряжение определяет трение, крутящий момент, рассеяние энергии и силы, связанные с деформацией.

Это различие важно для пилотных установок, поскольку повышение давления в системе не обязательно увеличивает вязкое сопротивление. Сопротивление в основном зависит от градиентов скорости и реологических свойств жидкости.

Тензор напряжений замыкает уравнение импульса

Для обоих классов жидкостей используется баланс импульса

[ \rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}

-\nabla P+\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}+\rho\mathbf{g}. ]

Само уравнение импульса не заменяется для неньютоновской жидкости. Изменяется определяющее уравнение для (\boldsymbol{\tau}), и это изменение делает задачу течения нелинейной или зависящей от истории.

Определяющее поведение ньютоновских жидкостей

Постоянная вязкость формирует линейную зависимость

Для несжимаемой ньютоновской жидкости

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{\Gamma}, ]

где

[ \boldsymbol{\Gamma}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right]. ]

Вязкость (\mu) может зависеть от температуры, давления или состава, но при заданном состоянии она не зависит от локальной скорости сдвига.

Расчёты для пилотной установки сравнительно просты

Воду, разбавленные водные растворы, лёгкие масла и многие газы часто можно моделировать с помощью этой зависимости. После этого потери давления при течении в трубах, профили скорости, числа Рейнольдса и требования к насосу можно рассчитывать с использованием известных ньютоновских корреляций.

Для ньютоновской жидкости число Рейнольдса обычно записывается как

[ Re=\frac{\rho U L}{\mu} ]

для течения в трубе или как

[ Re=\frac{\rho N D^2}{\mu} ]

для смешивания в аппарате с мешалкой, где (U) и (L) обозначают характерные скорость и длину потока, а (N) и (D) — частоту вращения и диаметр мешалки.

Основными инженерными переменными являются условия состояния

Хотя определяющий закон прост, вязкость всё же может значительно изменяться с температурой или концентрацией. Поэтому измерения на пилотной установке должны использовать вязкость, соответствующую фактическим рабочим условиям, а не каталожное значение, измеренное при другом состоянии.

Определяющее поведение неньютоновских жидкостей

Кажущаяся вязкость зависит от скорости деформации

Для многих неньютоновских жидкостей, не зависящих от времени, напряжение можно записать в обобщённой ньютоновской форме:

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu_a(\dot{\gamma})\boldsymbol{\Gamma}, ]

где (\mu_a) — кажущаяся вязкость, а (\dot{\gamma}) — скалярная мера скорости деформации.

В качестве распространённого варианта используется

[ \dot{\gamma}=\sqrt{2\boldsymbol{\Gamma}:\boldsymbol{\Gamma}}. ]

Поскольку (\mu_a) изменяется с (\dot{\gamma}), напряжение больше не является линейно пропорциональным тензору скоростей деформации.

Степенные жидкости моделируют псевдопластичность и дилатантность

Степенная модель часто выражается как

[ \boldsymbol{\tau}

2m\dot{\gamma}^{,n-1}\boldsymbol{\Gamma}, ]

или эквивалентно

[ \mu_a=m\dot{\gamma}^{,n-1}. ]

Здесь (m) — индекс консистенции, а (n) — индекс поведения жидкости.

(n<1): псевдопластичное поведение, при котором кажущаяся вязкость уменьшается с ростом скорости сдвига.
(n=1): ньютоновское поведение в рамках модели.
(n>1): дилатантное поведение, при котором кажущаяся вязкость увеличивается с ростом скорости сдвига.

Ферментационные бульоны, растворы полимеров, эмульсии и концентрированные суспензии могут проявлять такое поведение в рабочем диапазоне пилотной установки.

Для жидкостей с пределом текучести требуется пороговая модель

Некоторые материалы ведут себя так, словно не текут до тех пор, пока приложенное напряжение не превысит предел текучести (\tau_0). Зависимость для бингамовской пластичной жидкости имеет вид

[ \boldsymbol{\tau}

2\left(\mu_p+\frac{\tau_0}{\dot{\gamma}}\right)\boldsymbol{\Gamma}, ]

при (\tau>\tau_0), где (\mu_p) — пластическая вязкость.

Ниже предела текучести идеализированная модель предсказывает незапущенную область с пренебрежимо малой деформацией. Более сложные модели, такие как модель Гершеля—Балкли, объединяют предел текучести со степенным поведением:

[ \tau=\tau_0+m\dot{\gamma}^{,n}. ]

Такое поведение влияет на пусковое давление, застойные зоны, опорожнение, устойчивость суспензии и способность насоса или мешалки инициировать массовое движение.

Для вязкоупругих жидкостей требуются уравнения эволюции напряжений

Некоторые неньютоновские жидкости нельзя адекватно описать только мгновенной вязкостью. Растворы полимеров, расплавы полимеров и некоторые биологические жидкости могут накапливать упругую энергию и проявлять релаксацию напряжений, разность нормальных напряжений и эффекты памяти.

Для таких жидкостей требуется отдельное уравнение эволюции напряжений, например соответствующая вязкоупругая определяющая модель. В этом случае напряжение зависит от истории деформации материала, а не только от его текущей скорости деформации.

Последствия для эксплуатации пилотной установки

Перекачивание и прогнозирование перепада давления

Для ньютоновских жидкостей перепад давления в основном связан с плотностью, постоянной вязкостью, расходом, геометрией и режимом течения. Стандартных корреляций для коэффициента трения часто достаточно в пределах их применимости.

Для неньютоновских жидкостей значимая вязкость изменяется с локальной скоростью сдвига. Поэтому области у стенок труб, фитинги, клапаны и проточные каналы насосов могут характеризоваться разными кажущимися вязкостями, из-за чего прогнозирование перепада давления зависит от всего поля скорости.

Выбор насоса и пусковое поведение

Псевдопластичные жидкости могут становиться более удобными для транспортировки при высоких скоростях сдвига, однако насос всё равно должен справляться с вязкостью, возникающей при запуске и в областях с низким сдвигом. Дилатантные жидкости могут создавать быстро возрастающие нагрузки и приводить к нестабильной работе или перегрузке насоса.

Материалы с пределом текучести часто требуют оборудования, способного создавать достаточный пусковой крутящий момент или давление. Объёмные насосы могут подходить для контролируемой подачи вязких материалов, тогда как центробежные насосы эффективны, если вязкость и условия всасывания остаются в пределах их рабочего диапазона.

Мощность смешивания и конструкция мешалки

Для ньютоновских жидкостей мощность мешалки обычно коррелируют с использованием ньютоновского числа Рейнольдса и критерия мощности. Зависимость мощности от частоты вращения, диаметра, плотности и вязкости относительно стандартизирована.

Для неньютоновских жидкостей локальная скорость сдвига изменяется по всему объёму аппарата. Инженеры часто оценивают характерную скорость сдвига при смешивании с помощью корреляции, такой как подход Метцнера—Отто, а затем вычисляют кажущуюся вязкость при этой скорости:

[ \dot{\gamma}_{\text{avg}}\approx K_sN. ]

Полученную кажущуюся вязкость можно использовать в эффективном числе Рейнольдса для смешивания:

[ Re_{\text{mix}}

\frac{\rho N D^2}{\mu_a}. ]

Это инженерное приближение, а не универсальная замена полному решению задачи течения.

Масштабирование требует реологического подобия

Одного соответствия частоты вращения мешалки или геометрического масштаба недостаточно для гарантии эквивалентного смешивания. Пилотную и промышленную системы следует сравнивать с учётом соответствующей реологической модели, рабочей температуры, концентрации, диапазона скоростей сдвига и безразмерных групп.

Для биологических материалов, чувствительных к сдвигу, целью также может быть ограничение локального напряжения или рассеяния энергии, а не максимизация интенсивности смешивания. Конструкция, в которой согласована средняя подводимая мощность, всё же может создавать повреждающие зоны с высоким сдвигом рядом с мешалкой или клапаном.

Разделение и теплообмен также зависят от этого

Вязкость влияет на осаждение, фильтрацию, центрифугирование и распределение потока через теплообменники. Неньютоновское поведение может создавать застойные зоны или области слабого перемешивания, изменяя распределение времени пребывания и снижая эффективную теплопередачу.

Эти эффекты становятся особенно важными, когда структура жидкости изменяется во время обработки, например вследствие флокуляции, роста клеток, полимеризации или увеличения содержания твёрдой фазы.

Понимание компромиссов

Модели кажущейся вязкости полезны, но ограничены

Обобщённая ньютоновская модель вычислительно проще вязкоупругой модели и часто достаточна для расчётов стационарного транспорта и смешивания. Однако она не может описывать упругий возврат, релаксацию напряжений или разность нормальных напряжений.

Использование одного значения вязкости для жидкости с сильной зависимостью от сдвига может привести к ошибочным прогнозам работы насоса, перепада давления и смешивания.

Одна характерная скорость сдвига может скрывать локальные экстремумы

Метод Метцнера—Отто и аналогичные корреляции дают среднюю или эффективную скорость сдвига. Они полезны для расчётов масштабирования, но не описывают широкое распределение скоростей сдвига в аппарате с мешалкой.

В локальных областях скорость сдвига может быть значительно выше или ниже выбранного среднего значения. Это важно для повреждения клеток, агрегации, кинетики реакций и зон, остающихся плохо перемешанными.

Реологические данные должны охватывать рабочий диапазон

Аппроксимированная степенная модель или модель с пределом текучести надёжна только в диапазоне скоростей сдвига, температуры и состава, использованном для определения её параметров. Экстраполяция за пределы этого диапазона может быть особенно рискованной при запуске, остановке, очистке и нештатных режимах.

Измерения на пилотной установке должны учитывать зависимость от времени, если структура материала изменяется. Тиксотропия и реопексия требуют моделей, включающих восстановление или разрушение структуры во времени, а не только мгновенную зависимость от скорости сдвига.

Моделирование неньютоновских жидкостей повышает сложность модели и расчётов

Зависящая от скорости вязкость создаёт нелинейные уравнения импульса, тогда как поверхности текучести и вязкоупругие напряжения могут приводить к дополнительным трудностям со сходимостью и разрешением. Определяющая модель должна быть реализована с подходящими граничными условиями и проверена по измеренным данным о перепаде давления, крутящем моменте или скорости.

Более сложное моделирование оправдано, когда реология существенно влияет на подбор оборудования, качество продукта, биологическую жизнеспособность или безопасность процесса.

Правильный выбор для вашей цели

Подходящее определяющее уравнение должно учитывать как измеренную реологию жидкости, так и рассматриваемый рабочий вопрос.

Если основное внимание уделяется транспортировке ньютоновской жидкости по трубам: используйте закон напряжений с постоянной вязкостью и стандартные корреляции для перепада давления, числа Рейнольдса и насоса, корректируя вязкость с учётом температуры и состава.
Если основное внимание уделяется псевдопластичному или дилатантному течению: используйте обобщённую ньютоновскую модель, например степенную модель, и оценивайте кажущуюся вязкость в соответствующем локальном или характерном диапазоне скоростей сдвига.
Если основное внимание уделяется запуску, устойчивости суспензии или застойным зонам: включите модель с пределом текучести и оцените как текучие, так и нетекучие зоны.
Если основное внимание уделяется полимерному или сильно упругому поведению: используйте вязкоупругое определяющее уравнение, учитывающее историю напряжений, релаксацию и эффекты нормальных напряжений.
Если основное внимание уделяется масштабированию от пилотной до промышленной установки: согласуйте геометрию, рабочие условия, реологическое поведение и безразмерные группы, определяющие перенос импульса, а не только частоту вращения мешалки.

Точное реологическое моделирование связывает измеренное поведение жидкости с надёжными решениями по насосам, смесителям, трубопроводам, оборудованию для разделения и масштабированию пилотной установки.

Сводная таблица:

Поведение жидкости	Определяющая модель	Ключевое влияние на проектирование
Ньютоновское	Линейный закон напряжений с постоянной вязкостью	Прямые расчёты перепада давления, числа Рейнольдса и насоса
Псевдопластичное	Степенная или обобщённая ньютоновская модель с уменьшающейся кажущейся вязкостью	Меньшее сопротивление при высоком сдвиге, но возможны зоны с низким сдвигом
Дилатантное	Степенная модель с увеличивающейся кажущейся вязкостью	Большие нагрузки на насос и возможная нестабильность течения
С пределом текучести	Модель Бингама или Гершеля—Балкли	Пусковой крутящий момент, нетекучие зоны, застойные зоны и устойчивость суспензии
Вязкоупругое	Уравнение эволюции напряжений с эффектами памяти	Релаксация напряжений, нормальные напряжения, упругие эффекты и сложное масштабирование
Зависящее от времени	Тиксотропная или реопектическая модель	Восстановление или разрушение структуры при запуске, работе и остановке

Нужны надёжные проекты пилотных установок для сложных жидкостей? Свяжитесь с LABPARK, чтобы обсудить вашу задачу. LABPARK предоставляет учебные и профессиональные пилотные установки для изучения единичных операций в химической инженерии, биопроцессах и биотехнологии, а также в области экологических технологий и очистки воды. Наши системы помогают университетам, исследовательским институтам и предприятиям оценивать требования к перекачиванию, смешиванию, теплообмену, разделению, реологии и масштабированию в реалистичных рабочих условиях. Работайте с нашей командой, чтобы выбрать оборудование, соответствующее поведению вашей жидкости, целям процесса и потребностям в обучении или исследованиях, повышая точность экспериментов, эффективность подбора оборудования, безопасность процесса и качество решений при переходе от пилотного к промышленному производству.