Закон сохранения импульса при анализе контрольного объёма записывается как баланс сил для фиксированной или движущейся области жидкости. С использованием второго закона Ньютона и теоремы о переносе Рейнольдса скорость накопления импульса внутри контрольного объёма плюс результирующий конвективный поток импульса через контрольную поверхность равны полной внешней силе. Полная сила разделяется на массовые силы, действующие во всём объёме жидкости, и поверхностные силы, действующие через контрольную поверхность посредством давления и вязких напряжений.

Уравнение импульса для контрольного объёма имеет вид [ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \mathbf{v},dV +\oint_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA =\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA. ] Правая часть содержит составляющую массовых сил и составляющую поверхностных сил.

Как формулируется закон сохранения импульса

Начните со второго закона Ньютона

Для материальной системы второй закон Ньютона утверждает, что результирующая внешняя сила равна скорости изменения импульса:

[ \mathbf{F}_{\text{net}}

\frac{d}{dt}\int_{\text{system}}\rho\mathbf{v},dV. ]

Здесь (\rho) — плотность жидкости, а (\mathbf{v}) — вектор скорости.

Для материального элемента жидкости это же соотношение может быть выражено в дифференциальной форме:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}, ]

где (D\mathbf{v}/Dt) — материальное ускорение, а (\mathbf{f}) — результирующая сила на единицу объёма.

Примените теорему о переносе Рейнольдса

Контрольный объём — это выбранная область пространства, через которую может протекать жидкость. Теорема о переносе Рейнольдса преобразует баланс для системы в баланс для контрольного объёма, учитывая как импульс, накопленный внутри объёма, так и импульс, переносимый через его границу.

Для неподвижного контрольного объёма:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\mathbf{F}_{\text{net}}. ]

Первый член представляет собой накопление импульса внутри контрольного объёма. Второй описывает результирующий конвективный поток импульса через контрольную поверхность.

Интерпретируйте конвективный поток импульса

Вектор (\mathbf{n}) является единичной нормалью, направленной наружу от контрольной поверхности. Величина (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) определяет нормальную составляющую скорости, пересекающую поверхность.

Жидкость, входящая в контрольный объём, имеет (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0), а выходящая жидкость — (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>0). Это соглашение о знаках автоматически учитывает вклады импульса на входе и выходе.

Для стационарного одномерного потока с однородными профилями скорости баланс часто принимает вид:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}. ]

Различия между массовыми и поверхностными силами

Массовые силы действуют во всём объёме жидкости

Массовая сила непосредственно действует на массу жидкости во всём контрольном объёме. Для её возникновения не требуется физический контакт с границей.

Общая составляющая массовой силы имеет вид:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV, ]

где (\mathbf{b}) — массовая сила на единицу массы.

В большинстве технологических операций с потоками жидкости основной такой силой является сила тяжести:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV. ]

При постоянной плотности и однородном гравитационном поле это выражение принимает вид:

[ \mathbf{F}_V

\rho\mathbf{g}V_{CV}. ]

Сила тяжести важна при расчётах гидростатического давления, в вертикальных трубопроводах, резервуарах, колоннах и системах с изменением высоты.

Поверхностные силы действуют через границу

Поверхностная сила действует на жидкость через контрольную поверхность. Эти силы возникают со стороны соседней жидкости, твёрдых стенок, насосов, клапанов и других контактирующих поверхностей.

Общее выражение имеет вид:

[ \mathbf{F}_S

\oint_{CS}\mathbf{s}(\mathbf{n}),dA

\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA, ]

где (\mathbf{s}(\mathbf{n})) — вектор поверхностной тяги, а (\boldsymbol{\sigma}) — тензор напряжений.

Поверхностные силы имеют две основные составляющие:

[ \boldsymbol{\sigma}

-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}. ]

Член (-p\mathbf{I}) представляет изотропное напряжение давления. Тензор (\boldsymbol{\tau}) представляет вязкое или девиаторное напряжение, вызванное градиентами скорости.

Силы давления действуют по нормали

Давление действует перпендикулярно поверхности. Его вклад выражается как:

[ \mathbf{F}_p

-\oint_{CS}p\mathbf{n},dA. ]

Отрицательный знак следует из соглашения о внешней нормали: давление, действующее на жидкость, направлено внутрь относительно окружающей поверхности.

Силы давления играют ключевую роль в балансах импульса для сужений, сопел, отводов, насосов и трубопроводной арматуры. Их результирующая может создавать тягу, реактивные силы или соотношения для перепада давления.

Вязкие силы действуют по касательной

Вязкое касательное напряжение действует преимущественно по касательной к стенке или границе раздела жидкости. На твёрдой стенке оно связано с градиентом скорости вблизи границы.

Вязкая составляющая представляется выражением:

[ \mathbf{F}_{\tau}

\oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

При внутреннем течении трение о стенки вызывает потери давления. Эти потери влияют на выбор насоса, потребляемую мощность и гидравлические характеристики трубопроводных сетей.

Полный баланс сил для контрольного объёма

Объединение членов переноса импульса с массовыми и поверхностными силами даёт:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV

\oint_{CS}p\mathbf{n},dA + \oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

Это уравнение применяется независимо в каждом координатном направлении. Например, горизонтальный отвод трубы обычно анализируют с использованием составляющих по (x)- и (y)-направлениям, чтобы определить требуемую силу опоры или крепления.

Упрощение для стационарного режима

В стационарных условиях накопление импульса исчезает:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV=0. ]

Тогда уравнение утверждает, что результирующий поток импульса, выходящий из контрольного объёма, равен сумме массовых и поверхностных сил.

Эта форма особенно полезна для анализа стационарного течения в трубах, насосных станций, клапанов, колен и систем подачи в реакторы.

Одномерная форма для входов и выходов

Для дискретных входов и выходов баланс импульса можно записать следующим образом:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}. ]

Массовый расход равен:

[ \dot{m}=\rho A v, ]

для однородного потока с площадью поперечного сечения (A) и скоростью (v).

Эта инженерная форма удобна, когда скорости на входе и выходе известны или могут быть оценены из уравнения неразрывности.

Почему это различие важно для технологических операций

Прогнозирование перепадов давления и потерь на трение

Силы давления и силы трения о стенки необходимо различать при расчёте изменений давления в трубах и оборудовании. Перепады давления создают движущие силы, тогда как вязкое касательное напряжение учитывает необратимые потери на трение.

Эти результаты помогают выбирать насосы и оценивать эксплуатационные ограничения в системах пилотного масштаба.

Оценка сил, действующих на оборудование и трубопроводы

Поток импульса может изменить направление даже при сохранении своей величины. Поэтому на отвод трубы действует реактивная сила, поскольку изменяется вектор импульса жидкости.

Баланс контрольного объёма даёт силу, действующую на жидкость; равная и противоположно направленная сила определяет нагрузку, передаваемую на фитинг, опору или оборудование.

Учёт высоты и гидростатических эффектов

Массовые силы становятся значимыми, когда контрольный объём имеет существенную вертикальную протяжённость или когда жидкость находится в покое либо движется медленно. В этом случае сила тяжести влияет на распределение давления и гидростатический напор.

В вертикальных колоннах и резервуарах исключение члена массовой силы может привести к неправильному прогнозу давления или силы.

Понимание компромиссов

Интегральные балансы требуют корректного усреднения

Уравнение для контрольного объёма является точным, однако практические расчёты часто используют средние скорости, однородные профили и упрощённые распределения давления. Эти приближения могут быть недостаточными для сильно развивающегося, турбулентного, отрывного или многофазного потока.

При значительном отклонении распределения скорости от однородного могут потребоваться поправочные коэффициенты профиля скорости.

Давление и сдвиг нельзя взаимозаменять

Давление является нормальным напряжением, тогда как вязкое касательное напряжение — тангенциальным. Если рассматривать все поверхностные силы как силы давления, можно получить неправильную результирующую силу и недооценить потери на трение.

И наоборот, учёт касательного напряжения на стенке там, где оно незначительно, может усложнить расчёт без повышения точности результата.

Выбранный контрольный объём влияет на расчёт

Контрольную поверхность следует располагать там, где давления, скорости и расходы известны или могут быть надёжно оценены. Неправильно выбранный контрольный объём может привести к появлению неизвестных сил на стенках или ненужных границ раздела.

Для оборудования с внутренними компонентами выбор границ вокруг всего устройства может упростить баланс, заменив внутренние силы результирующей внешней силой.

Анализ импульса не заменяет энергетический анализ

Закон сохранения импульса определяет силы и изменения импульса, но сам по себе не определяет изменения температуры, теплопередачу или потери механической энергии. Для анализа теплового оборудования, мощности насосов и теплообменников необходимы энергетические балансы.

При полном проектировании технологических операций совместно используются балансы массы, импульса и энергии.

Правильный выбор в зависимости от цели

Используйте уравнение импульса для контрольного объёма, определив контрольный объём, задав потоки импульса на входе и выходе и оценив каждую составляющую массовых и поверхностных сил.

• Если ваша основная задача — прогнозирование перепада давления: тщательно учитывайте давление и касательное напряжение на стенках, а также применяйте подходящие корреляции для профиля скорости или коэффициента трения.
• Если ваша основная задача — проектирование насосов и трубопроводов: применяйте стационарный баланс импульса для определения сил давления, реакций оборудования и нагрузок на опоры.
• Если ваша основная задача — вертикальные или гидростатические системы: включайте член массовой силы (\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV) и явно учитывайте влияние высоты.
• Если ваша основная задача — масштабирование пилотной установки: объединяйте балансы импульса с балансами неразрывности и энергии, чтобы согласованно оценивать распределение потока, потери давления и тепловые эффекты.

Правильно выбранный контрольный объём превращает закон сохранения импульса жидкости в прямую количественную связь между поведением потока и силами, действующими на технологическое оборудование.

Сводная таблица:

Проектируете или модернизируете оборудование для потоков жидкости? Свяжитесь с LABPARK, чтобы узнать об учебных и профессиональных пилотных установках для технологических операций, адаптированных к вашим потребностям. Мы поддерживаем университеты, исследовательские институты и предприятия, предоставляя пилотные установки для химической инженерии, биопроцессов и биотехнологий, а также экологической и водоочистной отраслей. Наши решения помогают оценивать потери давления, силы, действующие на оборудование, поведение потока и характеристики масштабирования с помощью практичных и надёжных лабораторных и пилотных систем.