Для потоков вязких жидкостей баланс энергии формулируется путем разделения полной энергии на тепловую и механическую составляющие. Уравнение полной энергии отслеживает внутреннюю, кинетическую и потенциальную энергию, учитывая при этом теплопроводность и работу, совершаемую давлением и вязкими напряжениями. Вычитание баланса механической энергии позволяет выявить тепловые эффекты сжатия или расширения, а также необратимое преобразование механической энергии в тепло за счет вязкой диссипации.

Управляющая формулировка объединяет баланс полной энергии с балансом механической энергии. Для вязких жидкостей уравнение внутренней энергии должно включать теплопроводность, эффекты работы давления и член вязкой диссипации (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}), который может быть важен в процессах с высокой вязкостью или высокими скоростями сдвига.

Начните с баланса полной энергии

Энергия частицы жидкости

Существенная полная энергия на единицу массы равна

[ e_t = u + \frac{v^2}{2} + gz ]

где (u) — внутренняя энергия, (v^2/2) — кинетическая энергия, а (gz) — потенциальная энергия.

Для частицы жидкости баланс согласно первому закону термодинамики может быть записан как

[ \rho \frac{D e_t}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{v}) + \rho \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

где (\rho) — плотность, (\mathbf{q}) — кондуктивный тепловой поток, (\boldsymbol{\sigma}) — тензор полных напряжений, (\mathbf{b}) — массовая сила на единицу массы, а (\dot{q}_v) представляет собой любой объемный источник тепла.

Теплопроводность

Закон Фурье определяет кондуктивный тепловой поток:

[ \mathbf{q}=-k\nabla T ]

Следовательно, вклад теплопроводности в энергетический баланс составляет

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}

\nabla\cdot(k\nabla T) ]

Для постоянной теплопроводности это принимает вид (k\nabla^2T).

У неподвижной твердой стенки скорость жидкости равна нулю согласно условию прилипания. Следовательно, теплопередача через границу представляется нормальным к стенке кондуктивным потоком:

[ q_w=-k\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_w ]

Градиент температуры у стенки определяет локальную скорость теплопередачи, используемую в теплообменниках, испарителях, охлаждающих змеевиках и рубашках реакторов.

Работа напряжений

Тензор напряжений обычно разлагается как

[ \boldsymbol{\sigma}=-P\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

где (P) — давление, а (\boldsymbol{\tau}) — девиаторный или вязкий тензор напряжений.

Член работы напряжений включает в себя как работу давления, так и работу вязких напряжений. Это различие существенно, поскольку работа давления в основном представляет собой обратимый перенос механической энергии, тогда как вязкие напряжения могут необратимо генерировать тепловую энергию.

Вывод баланса тепловой энергии

Форма внутренней энергии

После отделения кинетической и потенциальной энергии от уравнения полной энергии и использования баланса импульса, уравнение внутренней энергии принимает вид

[ \rho\frac{D u}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q}

P\nabla\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Здесь (\mathbf{v}) — поле скоростей, а двоеточие обозначает двойное скалярное произведение двух тензоров.

Члены имеют прямое физическое значение:

• (-\nabla\cdot\mathbf{q}): чистый кондуктивный тепловой поток, входящий в элемент жидкости.
• (-P\nabla\cdot\mathbf{v}): обратимая работа давления-объема.
• (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}): необратимое вязкое преобразование механической энергии во внутреннюю энергию.
• (\dot{q}_v): внешне заданное объемное тепловыделение.

Температурно-барическая форма

Для термодинамически охарактеризованной жидкости дифференциал внутренней энергии может быть выражен через температуру и давление. Полезная форма теплового баланса:

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \left[ 1- \frac{T}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P \right] \frac{D P}{D t} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Точный коэффициент давления зависит от используемых термодинамических переменных и уравнения состояния. Важными физическими вкладами являются тепловой эффект, вызванный давлением, и вязкая диссипация.

Для постоянного (k) кондуктивный член может быть записан как

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}=k\nabla^2T ]

Сжимаемость и эффекты давления

Член, включающий (DP/Dt), описывает обратимый нагрев или охлаждение, связанные со сжатием и расширением. Это наиболее важно, когда плотность заметно изменяется, например, в газах, сжимаемых жидкостях, при быстрых переходных процессах давления или в оборудовании под высоким давлением.

Для несжимаемой жидкости с почти постоянными свойствами этот вклад давления-температуры часто пренебрежимо мал в тепловом уравнении. Давление все еще может быть важным в отдельном балансе механической энергии.

Учет вязкой диссипации

Общий член вязкого нагрева

Член

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

— это скорость, с которой вязкая механическая энергия преобразуется в тепло на единицу объема.

Для физически допустимой ньютоновской жидкости он неотрицателен и представляет собой необратимый внутренний нагрев, вызванный градиентами скорости.

Ньютоновские жидкости

Для ньютоновской жидкости

[ \boldsymbol{\tau}

\mu\left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

где (\mu) — динамическая вязкость, а (\lambda) — второй коэффициент вязкости.

Следовательно, диссипативная функция равна

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Для несжимаемого потока с постоянной вязкостью она обычно выражается через тензор скоростей деформации (\mathbf{D}):

[ \Phi_v=2\mu,\mathbf{D}:\mathbf{D} ]

Почему вязкость важна в технологических процессах

В потоках с низкой вязкостью и низким сдвигом вязкий нагрев может быть мал по сравнению с теплом, передаваемым через стенку оборудования. В полимерах, тяжелых маслах, концентрированных биологических жидкостях и при интенсивном перемешивании он может стать основным внутренним источником тепла.

Следствием является то, что температура жидкости может повышаться даже при внешнем охлаждении оборудования. Игнорирование (\Phi_v) в таких системах может привести к неверным расчетам выходных температур, коэффициентов теплопередачи, времени пребывания и требований к охлаждению.

Формулировка баланса механической энергии

Механическая энергия на единицу массы

Содержание механической энергии в потоке жидкости обычно представляется членами давления, кинетической и потенциальной энергии:

[ \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz ]

Для установившегося потока через технологический узел практический баланс механической энергии на единицу массы имеет вид

[ \frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + w_s

\frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + F ]

где (w_s) — работа вала, подводимая к жидкости, а (F) — потери механической энергии на единицу массы, вызванные трением и другими необратимыми эффектами.

Перегруппировка дает

[ w_s

\frac{P_2-P_1}{\rho} + \frac{v_2^2-v_1^2}{2} + g(z_2-z_1) + F ]

Знак (w_s) зависит от используемого соглашения. В приведенном выше уравнении положительный (w_s) определяется как работа, подводимая к жидкости.

Дифференциальный механический баланс

Дифференциальная форма может быть получена из уравнения импульса путем проецирования работы напряжений на поле скоростей. Она учитывает работу градиента давления, работу массовых сил, изменения кинетической энергии, работу вала и вязкие потери.

В практических расчетах пилотных установок интегрированная форма обычно более полезна, так как она напрямую связывает работу насоса или компрессора с ростом давления, изменением скорости, изменением высоты и потерями на трение.

Механический баланс для несжимаемого потока

Для потока жидкости с постоянной плотностью обычно используется выражение

[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F

w_s ]

Умножение на массовый расход дает потребность в мощности вала:

[ \dot W_s

\dot m \left[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F \right] ]

Это соотношение поддерживает выбор насоса и прогнозирование потерь давления в трубах, фитингах, теплообменниках, фильтрах, смесителях и других модулях.

Связь механических потерь с тепловыделением

Трение — это не всегда тепловой поток через стенку

Член трения (F) представляет собой деградацию механической энергии. Его не следует автоматически вставлять в тепловой баланс как тепло, передаваемое через стенку.

Часть потерянной механической энергии локально преобразуется во внутреннюю энергию за счет вязкой диссипации. Остальная часть может переноситься жидкостью и в конечном итоге передаваться поверхностям оборудования или окружающей среде.

Локальные и общие балансы

Дифференциальное тепловое уравнение использует локальный член генерации

[ \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Общий механический баланс использует интегрированную потерю (F). Эти величины связаны через пространственное интегрирование, но они не являются взаимозаменяемыми без учета поля потока и контрольного объема.

Это различие предотвращает двойной учет нагрева от трения, когда к одному и тому же технологическому узлу применяются как тепловой, так и механический балансы.

Тепло и работа — разные способы передачи

Тепло пересекает границу системы из-за разницы температур. Работа пересекает границу через механические, электрические, барические или валовые силы.

Насос или мешалка подводит работу к процессу, в то время как охлаждающая рубашка отводит тепло. Тот факт, что механическая работа может в конечном итоге проявиться как тепловая энергия, не делает первоначальную передачу работы вала теплопередачей.

Понимание компромиссов

Приближения для несжимаемых сред

Для многих технологических процессов с жидкостями плотность, вязкость и теплопроводность считаются постоянными. Это упрощает тепловой баланс до

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

k\nabla^2T + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Это приближение уместно только тогда, когда изменения плотности и свойств, вызванные давлением, незначительны в рабочем диапазоне.

Пренебрежение вязкой диссипацией

Отбрасывание вязкого члена сводит уравнение к обычному балансу конвекции-теплопроводности. Это часто разумно для жидкостей с низкой вязкостью, но может быть небезопасно для узких каналов, высоких скоростей вращения, интенсивного перемешивания или материалов с сильным разжижением при сдвиге.

Важное сравнение проводится между вязким тепловыделением и отводом тепла через стенку, а не только по вязкости.

Предположения об установившемся состоянии

В установившемся состоянии локальное накопление может исчезнуть, но конвективный перенос, теплопроводность, эффекты давления, вязкая диссипация и теплообмен могут оставаться значительными.

Установившееся состояние не означает, что тепловой баланс пренебрежимо мал. Оно означает, что температурное поле больше не меняется со временем в фиксированной точке.

Упрощения типа Бернулли

Если вязкие потери, работа вала, тепловые эффекты и сжимаемость пренебрежимо малы, механический баланс сводится к соотношению типа Бернулли. Это полезно для идеализированного потока, но, как правило, недостаточно для подбора реальных насосов или анализа оборудования с высокой вязкостью.

Как применить это в вашем проекте

Правильный баланс зависит от того, является ли целью прогнозирование температуры, расчет работы оборудования или оценка обоих эффектов вместе.

• Если ваша основная цель — прогнозирование температуры: Используйте уравнение внутренней энергии или температуры с учетом теплопроводности, конвекции, тепловых эффектов, вызванных давлением (где это уместно), вязкой диссипации и объемного тепловыделения.
• Если ваша основная цель — подбор насоса или компрессора: Используйте баланс механической энергии с учетом изменения давления, изменения кинетической энергии, изменения высоты, потерь на трение и работы вала.
• Если ваша основная цель — процессы с высокой вязкостью или высоким сдвигом: Сохраняйте (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) и оценивайте, существенно ли вязкий нагрев меняет температурное поле.
• Если ваша основная цель — сжимаемый или быстро находящийся под давлением поток: Сохраняйте термодинамический член (DP/Dt) и используйте согласованное уравнение состояния и модель свойств.
• Если ваша основная цель — общая производительность технологического узла: Объедините локальный тепловой баланс с интегрированным механическим балансом, избегая двойного учета энергии трения.

Надежная формулировка сохраняет теплоперенос, механическую энергию и их необратимое преобразование явно связанными, но физически различными.

Сводная таблица:

Нужно спроектировать или оценить технологический узел для потока вязкой жидкости? Свяжитесь с LABPARK для получения информации об образовательных и профессиональных пилотных установках, адаптированных под ваши задачи. LABPARK поддерживает университеты, научно-исследовательские институты и предприятия пилотными установками для химической инженерии, биопроцессов и биотехнологий, а также очистки воды и охраны окружающей среды. Наши системы помогут вам оценить тепловые характеристики, вязкий нагрев, потери давления, требования к насосам и смесителям, а также принять решения по масштабированию с помощью практического оборудования, ориентированного на конкретные задачи.