Для ползущего течения вокруг сферической частицы полное гидродинамическое сопротивление определяется законом Стокса, (F_D = 6\pi \mu R U), где (\mu) — вязкость жидкости, (R) — радиус частицы, а (U) — относительная скорость между частицей и жидкостью. Полная сила получается интегрированием воздействия жидкости по всей сферической поверхности. Силы давления составляют одну треть, (F_{D,p}=2\pi\mu R U), тогда как вязкие касательные силы составляют две трети, (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U).

В режиме ползущего течения сопротивление сферы линейно зависит от вязкости, размера частицы и относительной скорости. Хотя инерция пренебрежимо мала, окружающее поле давления по-прежнему вносит одну треть сопротивления; поверхностные касательные напряжения составляют остальные две трети.

Определение режима ползущего течения

Соответствующее число Рейнольдса

Ползучее течение имеет место, когда число Рейнольдса частицы значительно меньше единицы:

[ Re_p=\frac{\rho U d}{\mu}\ll 1 ]

где (\rho) — плотность жидкости, а (d=2R) — диаметр частицы.

При таких малых числах Рейнольдса инерционные эффекты пренебрежимо малы по сравнению с вязкими эффектами. Течение в основном определяется балансом между градиентами давления и вязкими напряжениями.

Значение относительной скорости

Скорость (U) в законе Стокса — это относительная скорость между частицей и окружающей жидкостью. Для неподвижной частицы в движущейся жидкости (U) — это локальная скорость жидкости относительно частицы.

Для оседающей частицы (U) — это скорость частицы относительно жидкости; обычно ее оценивают при установившейся скорости, когда результирующая сила равна нулю.

Расчет полного гидродинамического сопротивления

Закон Стокса

Модуль полного сопротивления сферы равен

[ F_D=6\pi\mu R U ]

При использовании диаметра вместо радиуса эквивалентная форма имеет вид

[ F_D=3\pi\mu d U ]

Сопротивление направлено противоположно относительному движению частицы через жидкость.

Интегрирование сил по поверхности

Сила, действующая на частицу, возникает из-за воздействия жидкости на ее поверхность. Это воздействие имеет две составляющие:

[ \text{поверхностное воздействие}= \text{нормальное воздействие давления} + \text{тангенциальное вязкое воздействие} ]

Интегрирование обеих составляющих по сферической поверхности дает

[ F_D=F_{D,p}+F_{D,\tau} ]

Для сферы в режиме ползущего течения

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

Следовательно,

[ F_D

2\pi\mu R U+4\pi\mu R U

6\pi\mu R U ]

Относительный вклад давления и касательных напряжений

Вклад давления

Распределение давления вокруг сферы создает

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

Относительно полного сопротивления

[ \frac{F_{D,p}}{F_D}

\frac{2\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{1}{3} ]

Таким образом, давление составляет приблизительно 33,3% полного сопротивления.

Это поле давления не является инерционным сопротивлением формы в обычном смысле, характерном для высоких чисел Рейнольдса. Несмотря на пренебрежимо малую инерцию, вязкое течение вокруг сферы требует наличия градиента давления, и это распределение давления создает результирующую силовую составляющую, направленную противоположно движению.

Вклад касательных напряжений

Тангенциальные вязкие напряжения на поверхности частицы создают

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

Их доля полного сопротивления равна

[ \frac{F_{D,\tau}}{F_D}

\frac{4\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{2}{3} ]

Следовательно, вязкие касательные напряжения составляют приблизительно 66,7% полного сопротивления.

Этот больший вклад отражает условие прилипания на поверхности частицы. Скорость жидкости быстро изменяется от скорости поверхности частицы до скорости окружающего потока, создавая градиенты скорости и тангенциальное касательное напряжение на стенке.

Соотношение одна треть к двум третям

Разложение силы можно представить следующим образом:

[ F_D

\underbrace{2\pi\mu R U}{\text{давление: }1/3} + \underbrace{4\pi\mu R U}{\text{касательные напряжения: }2/3} ]

Таким образом, соотношение сопротивления давления и сопротивления касательных напряжений равно

[ F_{D,p}:F_{D,\tau}=1:2 ]

Это различие полезно при обучении работе с оборудованием, поскольку датчики давления и измерения силы могут отражать различные составляющие одного и того же гидродинамического взаимодействия.

Связь результата с оборудованием для единичных операций

Отстаивание и осветление

В экспериментах по осаждению закон Стокса используется для установления связи между размером частицы, вязкостью жидкости и скоростью осаждения. При установившейся скорости осаждения сопротивление уравновешивает эффективный вес частицы:

[ F_D=F_g-F_b ]

где (F_g) — вес частицы, а (F_b) — выталкивающая сила.

Расчет сопротивления помогает студентам анализировать эффективность осаждения, время пребывания и работу осветлителей или разделительных колонн.

Измерения перепада давления

Пилотное оборудование может измерять перепады давления в проточных каналах, секциях с насадкой или разделительных устройствах. Эти измерения отражают силы давления, связанные с импульсом жидкости и вязким сопротивлением в оборудовании, а не обязательно составляющую давления в сопротивлении одной изолированной сферы.

Следовательно, измеренный перепад давления не следует автоматически интерпретировать как составляющую давления в одну треть, указанную в законе Стокса. Измерительная геометрия и контрольный объем определяют, какие силы регистрируются.

Измерения касательных напряжений

Касательное напряжение на стенке связано с локальным градиентом скорости соотношением

[ \tau_w

-\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)_{y=0} ]

Это соотношение иллюстрирует тот же физический принцип, который отвечает за вклад касательных напряжений в сопротивление сферы: вязкая сила возникает из-за градиентов скорости на поверхности.

Корреляции для плоской пластины, например зависимости для трения в ламинарном пограничном слое, полезны для экспериментов с течением в каналах и у стенок. Их не следует напрямую подставлять вместо результата для сферической частицы, поскольку геометрия и поле скоростей различаются.

Понимание компромиссов

Закон Стокса применим в ограниченном диапазоне чисел Рейнольдса

Соотношение (6\pi\mu R U) справедливо при (Re_p\ll 1). По мере увеличения числа Рейнольдса инерция становится существенной, и сопротивление перестает строго пропорционально скорости.

При более высоких числах Рейнольдса образование следа, отрыв потока и инерционное сопротивление давления могут значительно изменить как полное сопротивление, так и распределение между давлением и касательными напряжениями.

Форма частицы имеет значение

Соотношение одна треть давления и две трети касательных напряжений применимо к идеальной гладкой твердой сфере в неограниченной ньютоновской жидкости. Для частиц неправильной формы, волокон, капель и биологических частиц коэффициенты сопротивления и распределения напряжений могут быть иными.

Вблизи стенки, внутри узкого канала или среди соседних частиц окружающие границы изменяют течение и увеличивают сопротивление либо иным образом влияют на него.

Свойства жидкости необходимо применять согласованно

Вязкость (\mu) должна оцениваться при соответствующих температуре и составе жидкости. Для неньютоновских жидкостей расчет по закону Стокса с одной постоянной вязкостью может неточно описывать поле напряжений на масштабе частицы.

Жидкость также должна быть достаточно непрерывной на масштабе частицы, чтобы можно было применять механику сплошных сред. Для очень малых частиц в разреженных средах или микромасштабных режимах могут потребоваться поправки, выходящие за рамки классического результата.

Давление и касательные напряжения не являются независимыми системами течения

Давление и касательные напряжения разделяют математически, чтобы определить их вклад в интегральную силу. Физически они являются взаимосвязанными составляющими одного и того же решения для течения вокруг сферы.

Поэтому распределение давления и градиенты скорости на поверхности следует выводить из полного поля ползущего течения, а не оценивать независимо по несвязанным корреляциям для оборудования.

Применение к вашему проекту

Используйте следующий подход при анализе эксперимента со сферической частицей:

Если основное внимание уделяется полному сопротивлению частицы: Рассчитайте (F_D=6\pi\mu R U), используя вязкость жидкости, радиус частицы и относительную скорость частицы и жидкости.
Если основное внимание уделяется вкладу силы давления: Используйте (F_{D,p}=2\pi\mu R U=F_D/3), учитывая, что это вклад давления в вязком течении, а не инерционное сопротивление формы при высоком числе Рейнольдса.
Если основное внимание уделяется вкладу трения на поверхности: Используйте (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U=2F_D/3), что представляет собой интегральное тангенциальное касательное напряжение по поверхности частицы.
Если основное внимание уделяется проверке эксперимента на пилотной установке: Убедитесь, что (Re_p\ll1), различайте сопротивление на масштабе частицы и перепад давления на масштабе оборудования, а также учитывайте стенки, соседние частицы и неньютоновское поведение.

Для идеальной сферы в режиме ползущего течения результат однозначен: одна треть гидродинамического сопротивления обусловлена силами давления, а две трети — вязкими касательными напряжениями.

Сводная таблица:

Ключевой аспект	Результат
Режим течения	Ползучее течение, при котором число Рейнольдса частицы (Re_p \ll 1)
Полное сопротивление	(F_D = 6\pi\mu R U)
Вклад давления	(F_{D,p} = 2\pi\mu R U), или 1/3 (33,3%)
Вклад касательных напряжений	(F_{D,\tau} = 4\pi\mu R U), или 2/3 (66,7%)
Соотношение вкладов	Давление : касательные напряжения = 1 : 2
Основные применения	Осаждение, осветление, отстаивание частиц и учебные эксперименты по гидродинамике

Нужно надежное оборудование для осаждения частиц, анализа сил сопротивления или обучения гидромеханике? Свяжитесь с LABPARK, чтобы обсудить ваши требования. LABPARK предоставляет пилотные установки для учебных и профессиональных единичных операций в химической инженерии, биопроцессах и биотехнологии, а также в сфере экологической и водоподготовки. Наши системы помогают университетам, научно-исследовательским институтам и предприятиям демонстрировать закон Стокса, осаждение, осветление, влияние давления и вязкие касательные напряжения с помощью практических экспериментов, ориентированных на реальные промышленные процессы. Совместно с LABPARK вы сможете выбрать подходящую пилотную установку, адаптировать конфигурацию к вашим учебным или исследовательским задачам и организовать практическое обучение на основе измеряемых данных о процессах течения.