Полное напряжение жидкости разделяется на изотропное напряжение давления и девиаторное вязкое напряжение. В соответствии с обычным соглашением о знаках в механике сплошных сред тензор напряжений Коши записывается как (\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}), где (p) — статическое или термодинамическое давление, а (\boldsymbol{\tau}) — тензор вязких напряжений. Это разложение позволяет моделям пилотных установок отличать силы, обусловленные градиентом давления, которые перемещают и ускоряют жидкость, от вязких напряжений, представляющих перенос импульса, вызванный деформацией.

Ключевая идея заключается в том, что давление действует одинаково во всех направлениях, тогда как вязкое напряжение зависит от градиентов скорости. Их совокупная дивергенция входит в уравнение баланса импульса и определяет перепад давления, трение о стенки, крутящий момент при смешивании и распределение потока.

Что означает разложение напряжений

Полное напряжение включает эффекты давления и вязкости

Полное напряжение, действующее на элемент жидкости, представляется тензором напряжений Коши:

[ \boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

Здесь (\mathbf{I}) — единичный тензор, (-p\mathbf{I}) — изотропная составляющая давления, а (\boldsymbol{\tau}) — вязкая, или девиаторная, составляющая.

Отрицательный знак соответствует общепринятому соглашению, согласно которому положительное давление является сжимающим, тогда как положительным считается растягивающее нормальное напряжение.

Давление является изотропной составляющей

Давление создает одинаковое нормальное напряжение в направлениях (x), (y) и (z):

[ \sigma_{xx}^{(p)}=\sigma_{yy}^{(p)}=\sigma_{zz}^{(p)}=-p ]

Оно не создает касательного напряжения, поскольку изотропное поле давления не имеет предпочтительного направления.

Для общего тензора напряжений термодинамическое давление связано со средним нормальным напряжением следующим образом:

[ p=-\frac{1}{3} \left( \sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz} \right) ]

Таким образом, вязкое напряжение представляет собой оставшуюся девиаторную составляющую:

[ \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\sigma}+p\mathbf{I} ]

Следовательно, след тензора вязких напряжений равен нулю:

[ \tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz}=0 ]

Именно это условие нулевого следа делает тензор вязких напряжений девиаторным, а не объемным вкладом в напряжение.

Как разложение входит в уравнение импульса

Исходное общее уравнение баланса импульса

Локальный баланс количества движения имеет вид:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} ]

где (\rho) — плотность, (\mathbf{v}) — скорость, (D/Dt) — материальная производная, а (\mathbf{f}) представляет объемные силы, такие как сила тяжести на единицу объема.

Подстановка (\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}) дает:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}

\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

Это форма уравнения импульса Коши, учитывающая давление и вязкость.

Градиенты давления обеспечивают перенос основного потока

Член

[ -\nabla p ]

представляет силу, возникающую из-за пространственных изменений статического давления. Например, в трубопроводе пилотного масштаба заданный перепад давления ускоряет жидкость при ее прохождении через систему.

В неподвижной жидкости под действием силы тяжести давление изменяется с высотой. Если координата (z) отсчитывается вверх:

[ \nabla p=\rho\mathbf{g} ]

где (\mathbf{g}) направлен вниз. Это гидростатическое поле давления уравновешивает силу тяжести, когда жидкость находится в покое.

Вязкие напряжения сопротивляются деформации

Член

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

представляет результирующую вязкую силу, возникающую из-за пространственного изменения вязких напряжений. Он отвечает за такие эффекты, как трение о стенки, формирование профиля скорости и диффузия импульса между соседними слоями жидкости.

Давление может существовать в неподвижной жидкости, однако для возникновения вязкого напряжения обычно требуются градиенты скорости или деформация, за исключением особых реологических эффектов в более сложных материалах.

Связь вязкого напряжения со скоростью

Связь для ньютоновской жидкости

Для изотропной ньютоновской жидкости вязкое напряжение линейно связано с тензором скорости деформации:

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

где

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

Здесь (\mu) — динамическая вязкость, а (\lambda) — второй коэффициент вязкости, связанный с объемной деформацией.

Для несжимаемой жидкости

[ \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

поэтому определяющее соотношение упрощается:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

Тогда уравнение импульса принимает привычную ньютоновскую форму при условии допущений о постоянстве вязкости и плотности.

Касательные напряжения возникают из-за градиентов скорости

Для простого течения в направлении (x), при изменении скорости поперек направления (y), доминирующее вязкое касательное напряжение имеет вид:

[ \tau_{xy}

\mu\frac{\partial u}{\partial y} ]

Эта зависимость непосредственно применима к течению в трубах, аппаратам с мешалками, пограничным слоям и проточным каналам пилотных установок.

Тот же градиент, который создает касательное напряжение на стенке, также влияет на потери давления и требования к мощности перекачивания.

Также могут возникать нормальные вязкие напряжения

Вязкие эффекты не ограничиваются касательными компонентами. В ускоряющихся, сходящихся, расширяющихся или растягивающихся потоках диагональные компоненты (\boldsymbol{\tau}) могут быть существенными.

Для несжимаемого ньютоновского течения эти нормальные вязкие напряжения связаны с нормальными градиентами скорости при сохранении условия нулевого следа девиаторного тензора.

Применение разложения в оборудовании пилотных установок

Трубопроводные сети и проточные каналы

В трубах градиенты давления обеспечивают основную движущую силу, тогда как вязкие напряжения передают импульс стенкам. Получившийся баланс определяет профиль скорости и перепад давления.

Для турбулентного течения в пилотной установке моделируемое напряжение включает молекулярную вязкость и влияние флуктуаций скорости. Напряжения Рейнольдса обычно представляются как:

[ \tau_{xy}^{t}

-\rho\overline{u'v'} ]

где (u') и (v') — флуктуирующие компоненты скорости.

Смесительные емкости и реакторы

В аппарате с мешалкой давление вносит вклад в общее силовое поле и гидростатическое распределение. Вязкое напряжение определяет локальное рассеяние энергии, воздействие сдвига и крутящий момент, необходимый для вращения мешалки.

Для неньютоновского содержимого реактора локальная вязкость может изменяться со скоростью деформации. Разложение напряжений остается справедливым, однако определяющая модель для (\boldsymbol{\tau}) становится нелинейной.

Разделительные колонны и гравитационное оборудование

В отстойных колоннах, декантерах и флотационном оборудовании гидростатическое давление изменяется с глубиной и помогает определять поведение межфазной границы и уровней. Вязкие напряжения определяют сопротивление осаждению, движение межфазной границы и течение вблизи стенок.

Таким образом, поля давления и вязких напряжений служат разным целям моделирования: давление определяет распределение нормальных сил, тогда как вязкое напряжение описывает перенос импульса, связанный с деформацией.

Теплообменники и установки с тепловым течением

В каналах теплообменников касательное напряжение на стенке и перепад давления связаны с полем градиентов скорости. Та же структура потока влияет на тепловой пограничный слой и конвективный теплообмен.

При высоких числах Рейнольдса турбулентный перенос импульса может значительно превосходить молекулярный вязкий перенос, поэтому модель турбулентности должна учитывать дополнительное кажущееся напряжение.

Понимание компромиссов

Давление — это не то же самое, что полное нормальное напряжение

Распространенная ошибка моделирования заключается в том, чтобы считать любое нормальное напряжение статическим давлением. В сжимаемых, растягивающихся, быстро ускоряющихся или неньютоновских потоках нормальные вязкие напряжения могут иметь большое значение.

Давление является изотропной частью напряженного состояния; остальные нормальные напряжения относятся к девиаторному тензору.

Турбулентное напряжение моделируется, а не является молекулярной вязкостью

В турбулентном потоке осредненное по времени уравнение импульса содержит напряжения Рейнольдса, возникающие из-за флуктуаций скорости. Эти напряжения не идентичны молекулярным вязким напряжениям, хотя модели турбулентности часто описывают их суммарный эффект через эффективную или вихревую вязкость.

Использование только молекулярной вязкости может привести к заниженной оценке трения о стенки, перепада давления, потребности в смешивании и мощности перекачивания в турбулентном оборудовании пилотной установки.

Соглашения о знаках должны быть согласованными

В некоторых источниках тензор полных напряжений определяется с использованием сжимающего давления как (+p\mathbf{I}), тогда как в других используется (-p\mathbf{I}). Оба соглашения могут применяться, однако уравнение импульса и определения нормальных напряжений должны использовать одно и то же соглашение на всем протяжении расчета.

Стандартная инженерная форма имеет вид:

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

Несжимаемость не устраняет все вязкие напряжения

Для несжимаемой жидкости условие (\nabla\cdot\mathbf{v}=0) исключает член объемного расширения из ньютоновского определяющего уравнения. Оно не устраняет касательные напряжения или нормальные девиаторные напряжения, вызванные другими градиентами скорости.

Для неньютоновских жидкостей необходим подходящий реологический закон

Для растворов полимеров, концентрированных суспензий и ферментационных бульонов вязкость может зависеть от величины скорости деформации. Обобщенная модель может быть записана как:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu(\Gamma) \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

где (\Gamma) характеризует локальную скорость деформации.

Разложение на давление и вязкое напряжение по-прежнему применимо, однако вязкое напряжение необходимо рассчитывать с использованием измеренных реологических свойств жидкости.

Как применить это к вашему проекту

Правильное разложение зависит от оборудования, режима течения и используемой модели жидкости.

Если основное внимание уделяется перепаду давления в трубопроводах: Рассчитывайте вклад градиента давления отдельно от вязких напряжений у стенок и в объеме, а при турбулентном течении учитывайте напряжения Рейнольдса.
Если основное внимание уделяется смешиванию или проектированию реактора: Используйте поле вязких напряжений для оценки крутящего момента мешалки, локального рассеяния энергии и воздействия сдвига, сохраняя давление для общего силового и гидростатического баланса.
Если основное внимание уделяется разделительному оборудованию: Используйте гидростатическое давление для определения зависящей от глубины нормальной нагрузки, а вязкие напряжения — для моделирования осаждения, движения межфазной границы и сопротивления.
Если основное внимание уделяется переработке неньютоновских жидкостей: Сохраняйте разложение давления неизменным, но выбирайте определяющий закон, связывающий девиаторное напряжение с измеренной зависимой от скорости деформации вязкостью.
Если основное внимание уделяется нестационарной или турбулентной работе: Различайте молекулярное вязкое напряжение и моделируемое турбулентное напряжение, чтобы не занижать потери давления и перенос импульса.

Разделение изотропного давления и напряжения, зависящего от деформации, обеспечивает физически обоснованную основу моделей пилотных установок для прогнозирования течения, трения, смешивания, разделения и поведения при масштабировании.

Сводная таблица:

Компонент напряжения	Физический смысл	Основная роль в моделировании	Применение в пилотных установках
Статическое давление	Изотропное нормальное напряжение, действующее одинаково во всех направлениях	Обеспечивает движение потока и создает гидростатическую нагрузку	Трубопроводы, каналы, колонны, декантеры
Молекулярное вязкое напряжение	Девиаторное напряжение, вызванное градиентами скорости	Моделирует трение о стенки, диффузию импульса и деформацию	Насосы, теплообменники, емкости с мешалками
Турбулентное напряжение Рейнольдса	Перенос импульса, вызванный флуктуациями скорости	Представляет дополнительное кажущееся напряжение при турбулентном течении	Трубопроводы с большими расходами, смешивание, масштабирование
Неньютоновское напряжение	Зависящее от скорости деформации девиаторное напряжение, определяемое реологией жидкости	Прогнозирует сдвиг, крутящий момент и поведение потока в сложных жидкостях	Растворы полимеров, суспензии, ферментационные бульоны

Нужны надежные данные пилотной установки для проектирования систем с учетом перепада давления, смешивания, разделения или теплопередачи? Свяжитесь с LABPARK, чтобы обсудить ваши требования. LABPARK предоставляет учебные и профессиональные пилотные установки для единичных операций в химической инженерии, биопроцессах и биотехнологии, а также для экологических задач и очистки воды. Наши системы помогают университетам, исследовательским институтам и предприятиям оценивать влияние давления и вязкости, обучать операторов, проверять технологические модели и поддерживать масштабирование с помощью практичного оборудования, ориентированного на конкретные области применения.