Для разбавленной суспензии частиц рассчитайте эффективный коэффициент диффузии растворённого вещества, скорректировав коэффициент диффузии сплошной фазы с учётом объёмной доли частиц и переноса растворённого вещества через частицы. Разбавленная модель суспензии Максвелла имеет вид

[ \frac{K_{\mathrm{eff}}D_{\mathrm{eff}}}{D}

1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi+O(\phi^2), \qquad \gamma=\frac{K D_s}{D} ]

где (D) — коэффициент диффузии в сплошной жидкости, (D_s) — коэффициент диффузии в фазе частиц, (K) — коэффициент распределения растворённого вещества, (K_{\mathrm{eff}}) — эффективный коэффициент распределения, а (\phi) — объёмная доля частиц. Для полностью непроницаемых сферических частиц результат принимает вид (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{3}{2}\phi) при базисе концентрации жидкой фазы или (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{1}{2}\phi) при базисе концентрации, усреднённой по объёму.

Расчёт надёжен только в том случае, если базис концентрации, проницаемость частиц и соответствующие коэффициенты диффузии определены согласованно. В разбавленной суспензии непроницаемых сфер частицы затрудняют перенос; проницаемые частицы или частицы, поглощающие растворённое вещество, могут как уменьшать, так и увеличивать эффективный коэффициент диффузии в зависимости от значения (K D_s/D).

Определите, что означает «эффективный коэффициент диффузии»

Определите масштаб переноса

Эффективный коэффициент диффузии — это макроскопический коэффициент, используемый в континуальной модели массопереноса. Он отражает совокупное влияние молекулярной диффузии в сплошной фазе, переноса внутри частиц, вытеснения частицами и распределения растворённого вещества.

Это не обязательно собственный коэффициент диффузии внутри жидкой или твёрдой фазы. В пилотной установке это значение, которое должно воспроизводить наблюдаемый поток растворённого вещества или изменение концентрации в рамках выбранной модели.

Определите базис концентрации

Одна и та же физическая суспензия может характеризоваться разными значениями (D_{\mathrm{eff}}) в зависимости от определения концентрации.

При базисе концентрации жидкой фазы концентрация относится к объёму жидкости, доступному за пределами частиц. При базисе, усреднённом по объёму концентрация усредняется по общему объёму суспензии.

Это различие объясняет, почему для непроницаемых сфер получаются разные поправки первого порядка:

[ \left(\frac{D_{\mathrm{eff}}}{D}\right)_{\text{fluid basis}}

1-\frac{3}{2}\phi ]

[ \left(\frac{D_{\mathrm{eff}}}{D}\right)_{\text{volume-average basis}}

1-\frac{1}{2}\phi. ]

Базис, используемый при расчёте коэффициента диффузии, должен соответствовать базису, применяемому в материальном балансе пилотной установки.

Рассчитайте поправку Максвелла

Измерьте или оцените коэффициент диффузии в сплошной фазе

Сначала определите (D) — коэффициент диффузии растворённого вещества в сплошной жидкости без частиц при рабочих условиях пилотной установки.

Значение должно соответствовать фактическим температуре, составу растворителя, давлению и диапазону концентраций растворённого вещества. Для разбавленных жидких систем (D) можно получить из подходящей корреляции или независимого измерения диффузии.

Определите объёмную долю частиц

Рассчитайте объёмную долю диспергированных частиц по формуле

[ \phi=\frac{V_{\mathrm{particles}}}{V_{\mathrm{total\ suspension}}}. ]

Для разбавленной суспензии (\phi) должна быть достаточно малой, чтобы взаимодействием частиц и членами более высокого порядка можно было обоснованно пренебречь.

Выражение Максвелла представляет собой приближение первого порядка:

[ \frac{K_{\mathrm{eff}}D_{\mathrm{eff}}}{D} \approx 1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi. ]

Пренебрегаемые члены (O(\phi^2)) становятся всё более существенными по мере увеличения концентрации суспензии.

Охарактеризуйте перенос в частицах

Рассчитайте

[ \gamma=\frac{K D_s}{D}. ]

Здесь:

(D_s) — коэффициент диффузии растворённого вещества внутри диспергированных частиц.
(K) описывает распределение концентрации растворённого вещества между фазой частиц и сплошной фазой.
(D) — коэффициент диффузии в сплошной фазе.

Параметр (\gamma) сравнивает способность фазы частиц к переносу со способностью сплошной фазы, одновременно учитывая распределение вещества.

Решите уравнение для эффективного коэффициента диффузии

Преобразование соотношения Максвелла даёт

[ D_{\mathrm{eff}} \approx \frac{D}{K_{\mathrm{eff}}} \left[ 1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi \right]. ]

Это общий расчёт для разбавленной суспензии. Значение (K_{\mathrm{eff}}) необходимо определять с использованием той же конвенции концентрации и усреднения, которая применяется в модели пилотной установки.

Примените предельный случай непроницаемых частиц

Используйте соответствующее предельное допущение

Для полностью непроницаемых частиц растворённое вещество не может диффундировать через диспергированную фазу. Соответствующий предел имеет вид

[ \gamma=0. ]

Подстановка в поправку Максвелла даёт

[ 1+3\left(\frac{0-1}{0+2}\right)\phi

1-\frac{3}{2}\phi. ]

Следовательно, при базисе концентрации жидкой фазы

[ D_{\mathrm{eff}} \approx D\left(1-\frac{3}{2}\phi\right). ]

Этот результат отражает снижение переноса растворённого вещества, вызванное возмущением диффузионного поля вокруг сферических частиц, не участвующих в переносе.

Используйте результат для объёмного усреднения, когда это необходимо

Если в материальном балансе пилотной установки используется концентрация, усреднённая по общему объёму суспензии, соответствующий результат первого порядка имеет вид

[ D_{\mathrm{eff}} \approx D\left(1-\frac{1}{2}\phi\right). ]

Различие обусловлено способом учёта опорного объёма концентрации. Оно не означает, что были измерены два разных физических коэффициента диффузии суспензии.

Используйте результат в пилотной установке

Подставьте (D_{\mathrm{eff}}) в модель массопереноса

После расчёта (D_{\mathrm{eff}}) можно использовать в основном уравнении переноса или в корреляции для массопереноса.

Для эксперимента по нестационарной диффузии он входит в характеристическую длину диффузии:

[ \delta(t)\sim \left(D_{\mathrm{eff}}t\right)^{1/2}. ]

Он также определяет нестационарный поток, который в соответствующей модели проникновения по Фику масштабируется как (D_{\mathrm{eff}}^{1/2}).

Отделяйте диффузию от гидродинамических эффектов

В пилотной установке изменение общей скорости массопереноса может быть вызвано перемешиванием, циркуляцией, площадью межфазной поверхности, осаждением частиц или вязкостью суспензии. Эти эффекты не следует автоматически интерпретировать как изменение молекулярного коэффициента диффузии.

Измеренный общий коэффициент можно схематически представить как

[ \frac{1}{K_L}

\frac{1}{k_L} + \frac{1}{m k_G} ]

или описать соответствующей моделью сопротивлений для данной технологической операции. (D_{\mathrm{eff}}) относится к модели переноса на соответствующей стороне фазы; его нельзя отождествлять с общим коэффициентом массопереноса.

При необходимости определяйте коэффициент диффузии по измеренному потоку

Если эксперимент с суспензией предоставляет достоверный профиль концентрации или поток, исследователи могут подобрать (D_{\mathrm{eff}}) по транспортной модели.

Затем полученный результат следует сравнить с прогнозом Максвелла. Значительное расхождение может указывать на недилютированное содержание частиц, проницаемость частиц, агломерацию, осаждение, неньютоновское течение или некорректное гидродинамическое граничное условие.

Расширьте анализ на другие технологические операции

Различайте перенос в суспензии и перенос в пористых частицах

Модель суспензии Максвелла описывает перенос растворённого вещества через сплошную жидкость, содержащую диспергированные частицы. Её не следует путать с диффузией внутри пористого катализатора или пористого твёрдого тела.

Для газотвёрдых пористых частиц молекулярная и кнудсеновская диффузия могут действовать параллельно как механизмы переноса. Часто используется следующая объединённая зависимость:

[ \frac{1}{D_e}

\frac{1}{D_{Ae}} + \frac{1}{D_{Ake}}, ]

где (D_{Ae}) — эффективный коэффициент молекулярной диффузии, а (D_{Ake}) — эффективный коэффициент кнудсеновской диффузии.

Эта зависимость относится к переносу внутри пор частиц, тогда как поправка Максвелла применяется к эффективному переносу в суспензии в целом.

Рассматривайте диффузию многокомпонентного газа отдельно

Для газовой смеси, в которой компонент (A) диффундирует через неподвижные компоненты, эффективный коэффициент диффузии в газовой фазе можно оценить по формуле

[ \frac{1}{D'}

\frac{y'B}{D{AB}} + \frac{y'C}{D{AC}} +\cdots. ]

Это учитывает несколько сопротивлений бинарной газовой диффузии. Оно не заменяет поправку на объёмную долю частиц для жидко-твёрдой суспензии.

Понимание компромиссов

Модель ограничена разбавленными системами

Выражение Максвелла первого порядка не учитывает члены порядка (\phi^2) и выше. При более высокой загрузке твёрдой фазы взаимодействие частиц, извилистость каналов, стеснённость и изменения реологии суспензии могут существенно изменить перенос.

Использование разбавленной формулы за пределами её применимого диапазона концентраций может привести к заниженной оценке сопротивления переносу.

Форма частиц имеет значение

Приведённые выражения применимы к сферическим частицам в рамках допущений модели Максвелла. Волокна, чешуйки, частицы неправильной формы, пористые агломераты и деформируемые биологические частицы могут создавать другие поля переноса.

Ориентация и агрегация частиц также могут сделать эффективный коэффициент диффузии анизотропным или зависящим от предыстории суспензии.

Допущения о проницаемости необходимо проверять

Условие (\gamma=0) применимо только тогда, когда частицы практически непроницаемы для растворённого вещества. Если растворённое вещество проникает в частицы, на результат влияют и (K), и (D_s).

Частица с высоким распределением вещества, но очень медленной внутренней диффузией ведёт себя не так, как частица с быстрой внутренней диффузией, даже если в равновесии обе содержат одинаковое количество растворённого вещества.

Измерения в пилотном масштабе включают неопределённость модели

Подобранный коэффициент диффузии может компенсировать ошибки в оценке площади межфазной поверхности, распределения времени пребывания, перемешивания, отбора проб и удерживаемого объёма фаз. Поэтому (D_{\mathrm{eff}}) следует указывать вместе с базисом концентрации, загрузкой частиц, температурой и транспортной моделью, использованными для его получения.

Как применить это к вашей пилотной установке

Используйте следующий алгоритм, чтобы обеспечить физическую согласованность расчёта:

Если основное внимание уделяется разбавленным суспензиям с непроницаемыми частицами: измерьте (D), рассчитайте (\phi) и используйте (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{3}{2}\phi) для концентрации жидкой фазы или (1-\tfrac{1}{2}\phi) для концентрации, усреднённой по объёму.
Если основное внимание уделяется проницаемым частицам или частицам, поглощающим вещество: определите (K) и (D_s), рассчитайте (\gamma=K D_s/D) и примените общее выражение Максвелла.
Если основное внимание уделяется масштабированию пилотной установки: используйте (D_{\mathrm{eff}}) в фазоспецифичной модели массопереноса и отдельно учитывайте перемешивание, площадь межфазной поверхности, время пребывания и гидродинамическое сопротивление.
Если основное внимание уделяется проектированию пористого катализатора или газотвёрдого реактора: используйте модель поровой диффузии, учитывающую молекулярную и кнудсеновскую диффузию, а не поправку для суспензии диспергированных сфер.
Если основное внимание уделяется экспериментальной проверке: сравните прогнозируемый коэффициент диффузии со значением, подобранным по нестационарным профилям концентрации или измеренным потокам растворённого вещества, документируя базис концентрации и условия в суспензии.

Обоснованное значение эффективного коэффициента диффузии получают путём согласования поправки Максвелла, допущений о переносе в частицах, базиса концентрации и модели массопереноса пилотной установки с фактической физической системой.

Сводная таблица:

Система или допущение	Основной расчёт	Основное соображение
Общая разбавленная суспензия	`D_eff ≈ (D/K_eff)[1 + 3((γ−1)/(γ+2))φ]`	Используйте согласованные соглашения для концентрации и распределения вещества
Параметр переноса в частицах	`γ = K D_s / D`	Включает коэффициент диффузии в частицах и распределение растворённого вещества
Непроницаемые сферы, базис жидкой фазы	`D_eff/D ≈ 1 − 3φ/2`	Частицы затрудняют перенос растворённого вещества
Непроницаемые сферы, базис объёмного усреднения	`D_eff/D ≈ 1 − φ/2`	Учитывает усреднение по общему объёму суспензии
Применение в пилотной установке	Вставьте `D_eff` в фазоспецифичную модель переноса	Отдельно учитывайте перемешивание, площадь межфазной поверхности, осаждение и время пребывания
Пористый катализатор или газотвёрдая система	`1/D_e = 1/D_Ae + 1/D_Ake`	Используйте модели поровой диффузии с учётом молекулярной и кнудсеновской диффузии вместо поправки Максвелла для суспензии

Нужны надёжные характеристики массопереноса в пилотном масштабе? Свяжитесь с LABPARK, чтобы обсудить вашу задачу. LABPARK предоставляет учебные и профессиональные пилотные установки для изучения технологических операций в университетах, исследовательских институтах и на предприятиях, включая химическую технологию, биопроцессы и биотехнологию, а также системы экологической и водоочистки. Наши пилотные установки помогают преподавателям проводить практическое обучение, позволяют исследователям проверять модели эффективной диффузии и массопереноса и помогают предприятиям оценивать условия масштабирования с использованием контролируемого оборудования, ориентированного на конкретные задачи.