Для установившегося, полностью развитого потока двух несмешивающихся слоев жидкости в канале определяющие уравнения сводятся к одному уравнению количества движения для каждой фазы, связанному условиями на стенках и на границе раздела жидкость-жидкость. Для несжимаемых ньютоновских жидкостей закон сохранения массы требует отсутствия дивергенции поля скоростей, в то время как закон сохранения количества движения описывается уравнениями Навье-Стокса. В распространенном приближении параллельных пластин осевая скорость в каждой фазе квадратична по сечению канала, а константы интегрирования определяются условием прилипания на стенках, а также непрерывностью скорости и касательного напряжения на границе раздела.

Профили скорости определяются балансом количества движения, обусловленным градиентом давления в каждой фазе. Разница в вязкости влияет на профиль через уравнения количества движения для конкретной фазы, в то время как условия на границе раздела обеспечивают физически согласованное движение и передачу напряжений между жидкостями.

Что необходимо решить

Неразрывность в каждой фазе

Для несжимаемых фаз с постоянной плотностью уравнение неразрывности имеет вид

[ \nabla \cdot \mathbf{v}^{(i)} = 0, \qquad i=1,2 ]

где (\mathbf{v}^{(i)}) — поле скоростей фазы (i).

Для установившегося, полностью развитого однонаправленного потока в канале,

[ \mathbf{v}^{(i)} = \left(v_x^{(i)}(y),0,0\right) ]

и условие неразрывности выполняется автоматически, так как осевая скорость изменяется только в поперечном направлении.

Сохранение количества движения

Общее уравнение количества движения для несжимаемой ньютоновской жидкости для каждой фазы имеет вид

[ \rho_i \frac{D\mathbf{v}^{(i)}}{Dt}

\rho_i\mathbf{g} -\nabla P^{(i)} +\mu_i\nabla^2\mathbf{v}^{(i)} ]

где (\rho_i), (\mu_i) и (P^{(i)}) — плотность, динамическая вязкость и давление фазы (i).

Это уравнение включает нестационарное и конвективное ускорение, гравитацию, силы давления и вязкую диффузию количества движения.

Полностью развитый осевой поток

Когда поток является установившимся, полностью развитым и движется в основном за счет осевого градиента давления, уравнение осевого количества движения принимает вид

[ 0

-\frac{dP^{(i)}}{dx} + \mu_i\frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2} ]

или, что эквивалентно,

[ \frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2}

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

для каждого слоя жидкости.

Полученное распределение скорости имеет вид

[ v_x^{(i)}(y)

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx}\frac{y^2}{2} + a_i y+b_i ]

где (a_i) и (b_i) — константы интегрирования, определяемые граничными условиями и условиями на границе раздела.

Граничные условия на твердых стенках

Условие прилипания

На неподвижной твердой стенке тангенциальная скорость жидкости равна скорости стенки. Для двухслойной геометрии в эталонной конфигурации,

[ v_x^{(1)}(H_1)=0 ]

[ v_x^{(2)(-H_2)=0 ]

где фаза 1 занимает область между границей раздела и верхней стенкой, а фаза 2 занимает область между нижней стенкой и границей раздела.

Эти условия дают два из четырех уравнений, необходимых для определения констант интегрирования.

Условие непроницаемости

На непроницаемой неподвижной стенке нормальная скорость равна нулю:

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(i)}=0 ]

Это условие предотвращает прохождение любой из жидкостей через стенку канала. В идеализированном однонаправленном решении оно уже представлено отсутствием компоненты скорости, нормальной к стенке.

Движущиеся или пористые стенки

Если стенка движется, тангенциальное условие принимает вид

[ \mathbf{v}_t=\mathbf{V}_{w,t} ]

вместо нуля. Пористая или реактивная стенка требует отдельного условия для нормального потока, так как жидкость или компоненты могут пересекать границу.

Условия на границе раздела жидкость-жидкость

Кинематическое условие на границе раздела

На неподвижной границе раздела, расположенной при (y=0), нормальная скорость должна быть совместима с положением границы. Для непроницаемой, нереактивной границы раздела,

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(1)}

\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(2)} ]

Для параллельной, полностью развитой конфигурации обе нормальные скорости равны нулю.

Если граница раздела движется или деформируется, ее скорость должна вместо этого удовлетворять соответствующему кинематическому условию. Тогда положение границы раздела становится частью неизвестного решения.

Непрерывность тангенциальной скорости

Для двух обычных несмешивающихся ньютоновских жидкостей без проскальзывания на границе раздела,

[ v_x^{(1)}(0)=v_x^{(2)}(0) ]

Это условие гарантирует, что слои жидкости имеют одинаковую тангенциальную скорость на их общей границе.

Оно дает третье соотношение, необходимое для определения констант интегрирования.

Непрерывность тангенциального напряжения

Когда на границе раздела нет тангенциального напряжения, создаваемого градиентами поверхностного натяжения, вязкие касательные напряжения непрерывны:

[ \mu_1\frac{dv_x^{(1)}}{dy}(0)

\mu_2\frac{dv_x^{(2)}}{dy}(0) ]

Это существенно, когда вязкости различаются. Градиент скорости обычно меняется при переходе через границу раздела, так что касательное напряжение остается сбалансированным.

Это дает четвертое соотношение для четырех констант интегрирования в двух квадратичных профилях скорости.

Нормальное напряжение и поверхностное натяжение

Полная двухфазная модель также требует условия нормального напряжения на границе раздела. В общем виде,

[ \mathbf{n}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\gamma\kappa ]

с соответствующим соглашением о знаках, где (\boldsymbol{\tau}) — тензор полных напряжений, (\gamma) — межфазное натяжение, а (\kappa) — кривизна границы раздела.

Для плоской неподвижной границы раздела с постоянным межфазным натяжением кривизна равна нулю, и условие нормального напряжения сводится к равенству нормальных напряжений. Это условие становится особенно важным, когда граница раздела деформируется, канал не является плоским или капиллярные силы контролируют распределение фаз.

Эффекты Марангони

Если межфазное натяжение меняется с температурой или составом, тангенциальное напряжение не является просто непрерывным. Его скачок уравновешивается градиентом поверхностного натяжения:

[ \mathbf{t}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\nabla_s\gamma\cdot\mathbf{t} ]

где (\nabla_s) обозначает поверхностный градиент.

Для изотермических жидкостей с однородным составом на границе раздела этим членом обычно пренебрегают.

Условия на входах и выходах канала

Заданный входной поток

Модели пилотных установок обычно задают профили входной скорости, расходы фаз или общие объемные расходы. Полностью развитый вход может быть задан как

[ v_x^{(i)}(y)=v_{\text{in}}^{(i)}(y) ]

или через расход фазы,

[ Q_i=\int_{A_i}v_x^{(i)},dA ]

Спецификация входа должна соответствовать распределению фаз и положению границы раздела.

Заданный градиент давления

Для длинного, полностью развитого канала градиент давления может быть контролирующим входным параметром:

[ \frac{dP^{(i)}}{dx} ]

Во многих конфигурациях сонаправленного потока в канале осевой градиент давления является общим для обеих фаз, хотя результирующие профили скорости различаются из-за разницы в вязкости и толщине слоев.

Условие на выходе

На выходе модель может задавать давление, условие развитого потока или соответствующее условие конвективного вытекания. Выбор зависит от того, моделируется ли пилотная установка как работающая под давлением, с контролируемым расходом или подключенная к последующему оборудованию.

Условие на выходе должно избегать наложения искусственных ограничений на развивающуюся границу раздела или поле скоростей.

Почему важна разница вязкостей

Различная кривизна профилей

Кривизна каждого профиля скорости пропорциональна

[ \frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

При одинаковом градиенте давления менее вязкая фаза развивает большую кривизну скорости, чем более вязкая фаза.

Баланс напряжений контролирует изменение градиента

Хотя тангенциальная скорость непрерывна на границе раздела, градиенты скорости не обязаны быть таковыми. Условие напряжения требует

[ \mu_1\left.\frac{dv_x^{(1)}}{dy}\right|_{0}

\mu_2\left.\frac{dv_x^{(2)}}{dy}\right|_{0} ]

Таким образом, отношение вязкостей меняет способ распределения количества движения между слоями.

Последствия для технологических процессов

Результирующее поле скоростей влияет на распределение времени пребывания, обновление межфазной поверхности, перепад давления, удержание фаз, площадь массопереноса и эффективность разделения.

Эти эффекты важны в модулях жидкостно-жидкостной экстракции, реакторах со стратифицированным потоком, мембранных контактных устройствах и другом пилотном оборудовании канального типа.

Понимание компромиссов

Допущение о полностью развитом потоке

Квадратичное решение справедливо только после того, как входные эффекты становятся пренебрежимо малыми. Вблизи входов, распределителей, изгибов, сужений и устройств разделения фаз осевое развитие и вторичное движение могут потребовать использования полных многомерных уравнений.

Допущение о плоской границе раздела

Фиксированная граница раздела при (y=0) исключает деформацию границы и капиллярную эволюцию. Это может быть неадекватным при высоких скоростях потока, малых размерах канала, низком межфазном натяжении или когда свойства фаз создают значительные перепады давления.

Допущение о ламинарном потоке

Упрощенное обыкновенное дифференциальное уравнение описывает вязкий, полностью развитый поток и наиболее непосредственно применимо в ламинарных условиях. Если канал переходит в переходный или турбулентный режим, могут потребоваться дополнительные замыкающие соотношения и моделирование турбулентности.

Число Рейнольдса должно основываться на соответствующем гидравлическом размере, таком как гидравлический средний диаметр

[ d_m=\frac{4A}{p} ]

для соответствующей геометрии канала.

Допущение об отсутствии проскальзывания на границе раздела

Непрерывность скорости предполагает пренебрежимо малое межфазное проскальзывание. В некоторых специализированных системах поверхностно-активные вещества, загрязнения, межфазная реология или микромасштабные эффекты могут изменить условие на границе раздела и потребовать использования межфазной конститутивной модели.

Допущение о постоянных свойствах

Эталонные уравнения предполагают постоянную вязкость и плотность. Сильные градиенты температуры или состава могут сделать (\mu_i) и (\rho_i) переменными, связывая количество движения с балансами энергии и компонентов.

Правильный выбор для вашей цели

Используйте следующие принципы выбора модели при представлении двухфазной канальной пилотной установки:

Если ваш основной фокус — полностью развитый поток под давлением: Решайте сокращенные уравнения количества движения для каждой фазы с условием прилипания на стенках, непрерывностью тангенциальной скорости и непрерывностью тангенциального напряжения на границе раздела.
Если ваш основной фокус — положение границы раздела или удержание фаз: Добавьте кинематическое условие на границе раздела и баланс нормальных напряжений, включая поверхностное натяжение и кривизну.
Если ваш основной фокус — поведение на входе, в распределителе или в зоне поворота: Сохраните полные нестационарные или установившиеся многомерные уравнения Навье-Стокса и наложите физически согласованные условия на входе, выходе, стенках и границе раздела.
Если ваш основной фокус — массоперенос или реакция: Свяжите уравнения потока с законом сохранения компонентов и наложите условия концентрации или потока на входах, стенках и границе раздела жидкость-жидкость.
Если ваш основной фокус — масштабирование и прогнозирование перепада давления: Включите соответствующий гидравлический диаметр, режим числа Рейнольдса, шероховатость стенок, расходы фаз и изменения свойств.

Надежная модель двухфазной пилотной установки определяется не только дифференциальными уравнениями, но и граничными условиями и условиями на границе раздела, которые точно отражают работу реального оборудования.

Сводная таблица:

Элемент модели	Определяющее требование	Цель
Неразрывность	`∇ · v⁽ⁱ⁾ = 0`	Обеспечивает сохранение массы несжимаемой жидкости в каждой фазе
Количество движения	`ρᵢ Dv⁽ⁱ⁾/Dt = ρᵢg − ∇P⁽ⁱ⁾ + μᵢ∇²v⁽ⁱ⁾`	Описывает давление, гравитацию, инерцию и вязкие эффекты
Полностью развитый поток	`0 = −dP⁽ⁱ⁾/dx + μᵢ d²vₓ⁽ⁱ⁾/dy²`	Создает квадратичные профили скорости в каждом слое
Твердые стенки	Условия прилипания и непроницаемости	Определяет движение жидкости у неподвижных, движущихся или пористых стенок
Граница раздела жидкость-жидкость	Совместимость нормальных скоростей и непрерывность тангенциальной скорости	Поддерживает физически согласованную границу раздела фаз
Касательное напряжение	`μ₁ dvₓ⁽¹⁾/dy = μ₂ dvₓ⁽²⁾/dy`	Балансирует передачу количества движения через границу раздела
Нормальное напряжение	Скачок напряжения, сбалансированный `γκ`	Учитывает кривизну и поверхностное натяжение при деформации границы раздела
Эффекты Марангони	Скачок тангенциального напряжения, сбалансированный `∇ₛγ`	Представляет градиенты поверхностного натяжения, вызванные температурой или составом
Вход и выход	Заданный расход, скорость, давление или условие развитого потока	Согласовывает модель с реальной работой пилотной установки
Расширенные модели	Уравнения энергии, компонентов, турбулентности и переменных свойств	Поддерживает массоперенос, реакцию, масштабирование и неидеальные условия эксплуатации

Спроектируйте надежную двухфазную канальную пилотную установку с LABPARK. Наши учебные и профессиональные пилотные установки для технологических процессов поддерживают химическую инженерию, биопроцессы и биотехнологии, а также приложения по очистке воды и защите окружающей среды. Мы помогаем университетам, научно-исследовательским институтам и предприятиям оценивать перепад давления, удержание фаз, время пребывания, массоперенос, эффективность разделения и масштабирование в реалистичных условиях эксплуатации. Свяжитесь с LABPARK, чтобы обсудить ваши целевые жидкости, режим потока, конфигурацию канала, а также требования к обучению или исследованиям. Наша команда поможет вам выбрать практическую систему пилотной установки, которая улучшит воспроизводимость экспериментов, поддержит практическое обучение и создаст полезные технологические данные для промышленного развития.